énigmath 20230619

Exercice 1

1) Trouver tous les entiers positifs n tels que n-52 et n+52 soient tous deux des carrés d'entiers

2) Soit p un nombre premier. Démontrer qu'il n'existe qu'un entier positif n tel que n-p et n+p soient tous deux des carrés d'entiers. Exprimer n en fonction de p

Exercice 2

(les 3 questions peuvent être traitées de manière indépendante, bien qu'elles soient liées d'une certaine façon)

ABC est un triangle tel que AB=40, BC=37 et AC=13.

1) Construire le point I sur [BC], le point K sur [AC] et les points L et J sur [AB] tels que IKLJ soit un carré (on demande une construction précise)

2) Calculer l'aire de ce carré

3) (pour les forts en trigo) Quelle est la valeur exacte de la tangente de l'angle C dans ABC ? On donnera le résultat sous la forme d'une fraction.